5 grudnia 2022 odbyła się publiczna obrona pracy doktorskiej mgr. inż. Olafa Popczyka, pt. “Modelling of thermal fields in metamaterials using radial basis function-based meshless methods”. Promotorem był dr hab. inż. Grzegorz Dziatkiewicz prof. PŚ, natomiast recenzentami dr hab. inż. Liliana Rybarska-Rusinek prof PRZ z Politechniki Rzeszowskiej oraz dr hab. inż. Tomasz Domański prof. PCz z Politechniki Częstochowskiej. Komisja Doktorska uchwaliła wnioski do Rady Dyscypliny Inżynieria Mechaniczna o nadanie mgr inż. Olafowi Popczykowi stopnia doktora nauk technicznych w dyscyplinie Inżynieria Mechaniczna oraz o wyróżnienie pracy doktorskiej.
Praca dotyczy modelowania pól termicznych w ośrodkach niejednorodnych, w szczególności stanowiących modele metamateriałów, które charakteryzują się intensywna zmiennością przestrzenną parametrów termofizycznych. Rozwiązywano zagadnienia brzegowe i brzegowo-początkowe przepływu ciepła w niejednorodnych obszarach jedno- i dwuwymiarowych. Sformułowano oraz zaimplementowano kolokacyjne metody obliczeniowe, do przybliżonego rozwiązania tych zagadnień, bazujące na klasycznej bezsiatkowej niesymetrycznej metodzie Kansy z radialnymi funkcjami bazowymi typu wielokwadryk [ang. multiquadrics]. Ponieważ rozważano zagadnienia liniowe ustalonego bezźródłowego przepływu ciepła, wyrażonego eliptycznym równaniem Laplace’a: zagadnienia nieustalonego bezźródłowego przepływu ciepła dla równań konstytutywnych w postaci prawa Fouriera (co daje równanie paraboliczne) i równania Cattaneo-Vernotte’a z opóźnieniem czasowym (co daje równanie hiperboliczne), sformułowano i zaimplementowano kilka metod obliczeniowych, stanowiących warianty wspomnianej metody Kansy.
W szczególności rozważano metodę Kansy w tzw. wersji współczynnikowej oraz pseudospektralnej, a także rozwijając sformułowanie czasoprzestrzenne. Dla problemów brzegowo-początkowych wyrażonych równaniami parabolicznym i hiperbolicznym zastosowano tzw. metodę linii z dyskretyzacją członów przestrzennych za pomocą metody Kansy, aby następnie zastosować klasyczne metody całkowania numerycznego równań dynamiki, znane z dynamiki konstrukcji, jak np. metoda Houbolta, Newmarka i inne. Dla wszystkich wprowadzonych sformułowań pokazano implementację warunków brzegowych oraz przeprowadzono studium numeryczne wpływu parametrów opracowanych metod, takich jak: gęstość punktów kolokacji, parametr epsilon radialnych funkcji bazowych, typ zmienności przestrzennej parametrów termo-fizycznych, na jakość uzyskanych rozwiązań testowych problemów brzegowych i brzegowo-początkowych. Uzyskano również rozwiązania analityczne, dla pewnych typów zmienności parametrów termofizycznych i geometrii zadań brzegowych i brzegowo-początkowych, które posłużyły do weryfikacji i walidacji zaimplementowanych metod i algorytmów.
Ze względu na kluczowe znaczenie parametru epsilon radialnych funkcji bazowych typu wielokwadryk na jakość rozwiązań rozpatrywanych problemów, zaproponowano własną wersję algorytmu doboru tego parametru, w oparciu o przebieg wskaźnika uwarunkowania macierzy głównej układu równań po zastosowaniu kolokacji. Quasi-optymalna wartość parametru radialnych funkcji bazowych odpowiada zmianie typu zachowania się wskaźnika uwarunkowania wspomnianej macierzy – trend monotoniczny przechodzi w zachowanie oscylacyjne o charakterze chaotycznym. Zbadano efektywność opracowanej metody doboru, porównując wyniki z otrzymanymi za pomocą klasycznych algorytmów, np. metody Fasshauera, dla której również zaproponowano własną modyfikację. Przeprowadzono analizę korelacji zachowania się wskaźnika uwarunkowania macierzy głównej układy równań metody z innymi wskaźnikami: norma residuum, czy norma rozwiązania.
Przedstawione rozważania miały charakter przygotowawczy do rozwiązania pewnego szczególnego problemu optymalnego projektowania metamateriałów termicznych. Rozważano problem ustalonego przepływu ciepła w obszarze dwuwymiarowym, gdzie wyróżniono podobszar zajmowany przez metamaterial, dzięki któremu można sterować strumieniem ciepła w innym podobszarze zajmowanym przez materiał jednorodny. Sformułowano problem optymalnego projektowania, jako zagadnienie minimalizacji funkcjonału wyrażającego błąd średniokwadratowy strumienia ciepła, w wyróżnionym podobszarze zajmowanym przez materiał jednorodny, określony względem założonego rozkładu strumienia ciepła. Jako zmienne projektowe, wybrano wartości przewodności cieplnej w podobszarze zajmowanym przez metamateriał, sparametryzowane przez tzw. sztuczną gęstość, jak w klasycznej optymalizacji topologiczne], co prowadzi do modeli ośrodków lokalnie izotropowych. Postawiono dwa typy ograniczeń: funkcyjne – w postaci równościowej, wyrażonej równaniami ustalonego przepływu ciepła w rozważanym obszarze, ale w postaci dyskretnej, dzięki zastosowaniu wersji pseudospektralnej metody Kansy; oraz kostkowe dla wektora zmiennych projektowych. Ze względu na znaczny rozmiar wektora zmiennych projektowych, gradient funkcji celu wyznaczono analitycznie stosując metodę Lagrangea dla ekstremum warunkowego oraz metodę układu sprzężonego, eliminujące pewne kosztowne obliczeniowo składowe wektora gradientu funkcji celu. Dla zapewnienia stabilności procesu optymalizacji zastosowano podwójną filtrację: wektora zmiennych projektowych oraz wektora gradientu. Zastosowano typowe filtry znane w optymalizacji topologiczne]. Rozważano zagadnienia sterowania strumieniem ciepła za pomocą metamateriaiu w postaci: maskowania, ekranowania, koncentracji i inwersji. Wykonano badania wpływu gęstości punktów kolokacji, parametru filtrów i punktu startowego algorytmu optymalizacji na wyniki, wyrażone wartością funkcji celu i otrzymaną postacią metamateriału. Wszystkie sformułowane metody i algorytmy zostały zaimplementowane przez autora pracy w środowisku obliczeniowym MATLAB.
